牙颌模型能客观完整地记录牙列、牙弓、腭骨及基骨的形态和位置等重要信息。牙颌模型的测量是口腔正畸学用以研究错颌因素、辅助诊断设计、制定矫治计划的一个重要步骤。
传统的手工测量方法[12]基于石膏模型，主要利用一些简单的几何测量工具，包括通用或专用直尺以及游标卡尺，手工测量方法速度慢、测量定位难、误差大。Nakashima[3]研究了5轴接触式测量装置,通过测量头直接与被测牙冠表面接触并记录测量头所在测量点的X、Y、Z 坐标。可对牙颌模型上的曲面、死角进行精确测量，主要用于CAD/CAM系统。但测量头的直径、测量力引起被测物体表面的变形和划伤直接影响测量精度。近年来，随着图像采集与处理技术、三维数字化成像技术等的飞速发展[46]，石膏牙颌模型逐渐被三维数字牙颌模型取代。在数字牙颌模型上直接精确地拾取尖点、中央窝点很困难。Mokhtari等[7]使用分水岭算法在牙颌模型的深度图像上准确探测出了牙齿的一些特征点，如切牙的切缘、尖牙的齿尖、双尖牙和磨牙的尖点。Kondo等[8]用三维扫描设备重构了三维数字牙颌模型，由三维数字模型计算出一幅深度图像，使用一种改进的梯度分析方法(GOA)，寻找梯度方向不连续的点，可以稳定地得到牙齿的尖点。但是这些探测特征点的方法研究的对象是深度图像。
本研究利用3D CaMega高精度三维光学扫描系统，将待测的石膏牙模通过扫描成像到计算机进行测点的数据采集、预处理和模型重构，主要包括点云去噪、三角网格化、孔洞修补、光顺等步骤。为了在数字牙颌模型上寻找特征点并避免复杂的梯度计算与分析，结合牙颌模型的正畸学特征，作者提出基于咬合面的牙冠尖点、中窝点自动搜索算法搜索到合适尖点、中央窝点，在三维空间完成牙冠宽度、牙弓宽度、牙弓长度等个性化参数测量。
1 材料与方法
1.1 材料与设备
1.1.1 模型 三维数字牙颌模型较石膏牙颌模型,具有不易损坏、方便存储、携带便利、易实现数据共享等优点,可根据需要随时将模型调出并进行多角度的观察、测量和比较。
数字模型制作步骤：(1)用常规方法翻制整副牙颌的石膏阳模。(2)利用高精度三维光学扫描系统扫描石膏模型表面获取点云数据。(3)扫描中不可避免存在遇到噪声、扫描盲区等缺陷，使用Geomagic 8.0对数据裁剪、剔除噪声点;经三角化获得三角网格模型，并对模型修补、光顺。对模型数据合格性检测、剔除异常三角片。最终得到比较理想的三维数字模型。
1.1.2 软硬件组成 软件：Geomagic 8.0，实验室研制开发的Dental CAD口腔修复系统，Windows XP操作系统 。
硬件：3D CaMega高精度三维光学扫描仪，计算机1台。
1.2 数字牙模参数测量流程
数字牙模参数测量的流程如图1所示。具体步骤如下：(1)利用3D CaMega三维光学扫描设备对石膏牙颌表面数据采集，并对数据预处理、模型重构。(2)对获取的数字牙颌模型，按趋势面分析的方法确定咬合平面。(3)根据相关的医学定义，建立中线平面、基准平面，拾取相应的初始特征点，利用基于咬合面的牙冠尖点、中窝点自动搜索算法搜索最优特征点，利用最优特征点进行个性化参数测量、分析。
1.3 咬合平面的确定
咬合平面是指上下颌牙齿咬合时的接触面，它是一个假想的、构建的平面，实际上并不存在，因为牙齿的咬合接触点并不在同一个平面上。在口腔医学中，咬合平面的确定是义齿能否制作成功的关键因素。在本研究中，咬合平面作为参考平面，用来筛选提取牙模表面上的特征点(尖点、中央窝点)。在口腔正畸学中，咬合平面常用以下两种方法确定：一种是过第一恒磨牙的咬合点与上、下、中切牙切缘点间连线的中点;另一种是自然的或称功能的咬合平面，过上下颌的第一恒磨、第一尖磨牙的咬合接触点，如图2所示。本研究采用第2种方法。
在数字牙模上近似拾取图3所示的4个初始特征点，即第一恒磨牙的近中颊侧尖点和第一尖磨牙的颊侧尖点。程序会自动地在拾取点附近搜索求出准确的尖点B1、B2、B3、B4。
利用搜索到的尖点确定咬合平面，通常4个特征点不在同一个平面上，本研究采用趋势面分析的方法来确定相应的咬合平面。
第一恒磨牙近中颊侧尖点(B1、B4),第一尖磨牙颊侧尖点(B2、B3)
图3 咬合平面的特征点
Fig 3 Feature points of occluasal plane
设Zi(xi,yi)表示观测值，趋势面分析就把观测值Z的变化分解成两个部分，即
Zi(xi,yi)=f(xi,yi)+σi(1)
式中f(xi,yi)为趋势值，σi 为剩余值，可以用回归的方法求得趋势值和剩余值，即根据已知数据Z的一个回归方程f(x,y)，使得
Q=∑ni=1[Zi-f(xi,yi)]2(2)
达到极小。设ax+by+cz+d=0为拟合平面方程，因此选择一次多项式：
f(x,y)=-1cax+by+d(3)
作为回归方程，求出系数a、b、c、d即可得到咬合平面FOCC，如图4。以远离牙根的方向作为咬合平面的正法向。
图4 咬合平面
Fig 4 Occluasal plane
1.4 基于咬合面的牙冠尖点、中窝点自动搜索算法
在数字牙颌模型上直接精确地拾取尖点、中央窝点比较困难。本研究通过基于咬合面的牙冠尖点、中窝点自动搜索算法自动在拾取的初始特征点附近搜索最优的特征点。
根据医学定义交互拾取6个初始特征点，即尖牙牙尖点、第一双尖牙中央窝点、第一恒磨牙中央窝点，如图5a所示。用Vi(xi,yi,zi)表示。设咬合面标准方程为a*x+b*y+c*z+d*=0，单位法矢为nf(a*,b*,c*)，则
d*=-1×nf•Vi(xi,yi,zi)(4)
用Ui(xi,yi,zi)来表示Vi(xi,yi,zi)邻近搜索范围的点。对Ui(xi,yi,zi)进行筛选，集合UL表示到初始特征点距离小于或等于R的点集，如图5b所示。集合DL表示Ui(xi,yi,zi)到咬合面的修正距离。R的选定，既要保证特征点被选中，又要使所选中的顶点数量尽可能少，通过多次的试验，选定R=1.10 mm。N为偏移值，选定N=0.8。
UL={Ui||Ui-Vi|≤R}(5)
DL={Di||Di=nf•Ui+d*+N|}(6)
a.初始特征点 b.搜索范围
图5 特征点的确定
Fig 5 Determine feature points对于第一双尖牙中央窝点、第一恒磨牙中央窝点(1、2、3、4点)，分析式6得到集合DL中的最大值Dimax，与Dimax对应的为中央窝点U*iW,用集合U*W={Ui|Ui∈U*iW}表示;对于尖牙牙尖点(5、6点)，得到DL中的最小值Dimin，与Dimin对应的为尖点U*iJ，用集合U*J={Ui|Ui∈U*iJ}表示。
1.5 映射法牙冠宽度测量
牙冠的宽度是指上下颌每颗牙齿的牙冠近、远、中最凸点间距离。牙齿的边界是不规则的曲线，没有完全确定的几何边界，而且相邻牙齿之间的间隙较小，传统的手工测量方法很难实现测量。
本研究将相邻牙齿作为参照物，选取牙冠近、远、中最凸点A、B，如图6a所示。提出了将空间点映射到咬合平面的方法，应用到拾取的特征点映射到咬合平面上，自动生成两个参考平面，测量这两个面之间的距离。具体步骤如下。
第一步：根据1.3节图3的方法，拾取4个特征点确定功能咬合平面。将选择的特征点表示为Vi(xi,yi,zi),其中xi、yi和zi分别为顶点的坐标值，将所有选定的特征点的集合Sv定义为
Sv=Uni=1Vi(xi,yi,zi)(7)
第二步：通过分析与相邻牙齿之间的接触关系，拾取单颗牙齿近、远、中最凸点A、B。用集合Sv*表示咬合面上的映射点：
S*v =Uni = 1V*i(x*i,y*i,z*i)(8)
将所选定特征点A、B映射到咬合面上得到A*、B*，即
t=-1×(Vi•nf+d*)(9)
V*i (x*i,y*i,z*i) = Vi(xi,yi,zi) + t×nf(10)
用|V*i+1-V*i|表示V*i到V*i+1的距离，自动测量出牙冠宽度，单位为mm，如图6所示。
图6 牙冠宽度测量结果
Fig 6 The measurement results of crown width
1.6 牙弓测量
1.6.1 局部寻优牙弓宽度测量 牙弓宽度测量对于判断牙齿畸形程度、牙弓形状有着十分重要的意义。
牙弓宽度一般分为3段测量。尖牙间宽度指双侧尖牙牙尖之间的宽度，即前段宽度Dfront。双尖牙间宽度指两侧第一双尖牙中央窝之间的距离，即中段宽度Dmid。磨牙间宽度指两侧第一恒磨牙中央窝之间的距离，即后段宽度Dback。
按1.4节图5的方法拾取6个初始特征点，利用基于咬合面的牙冠尖点、中窝点自动搜索算法搜索到最优特征点U*W、U*J。为了显示得美观、整齐以及标注的尺寸线不被牙冠遮挡，将得到尖点、中央窝点映射到咬合平面上，自动测量出牙弓的宽度，如图7所示。
1.6.2 基于基准面牙弓长度测量 牙弓长度是判断牙弓形状的一项重要数据。分析牙弓长度可以辅助确定牙弓属于方圆、尖圆、卵圆中的哪种类型，为弯制弓丝提供了重要的依据。图7 牙弓宽度测量结果
牙弓长度一般也分为3段测量。前段牙弓长度Lfront指上中切牙近中接触点至两侧尖牙牙尖间连线的垂直距离。中段牙弓长度Lmid指上中切牙近中接触点至两侧第一双尖牙牙尖间连线的垂直距离。牙弓总长度Lall指上中切牙近中接触点至两侧第一恒磨牙远中面连线的垂直距离。
交互拾取3个特征点P1、P2、P3，如图8所示。分别用向量P1、P2、P3表示，设P1*为P1在咬合平面上的投影点。
基准平面的建立：由P1、P3、P*13个点确定基准平面，设f(x,y,z)=a′x+b′y+c′z+d′为基准平面方程，nr(a′,b′,c′)为基准平面的单位法矢:
d′=-1×nr(a,b,c)•P1(11)
将P2映射到基准平面，设P2′为P2在基准平面上的投影点：
P2′=P2+-(P2•nr+d′)×nr (12)
所以P2′-P2即所求的牙弓总长度Lall。测量的结果如图8所示。
图8 牙弓长度测量结果
Fig 8 The measurement results of dental arch length
1.6.3 相对对称牙弓对称性测量分析 牙弓对称性测量分析，也是面型测量的一个重要内容。对称性测量的参照物一般为鄂中缝。常用的对称性测量方法包括有尺测、对称性图测及模型测量仪测量。针对本研究的对象是三维模型，将测量参照物由鄂中缝演化为二维的中线平面。
相对对称法确定中线平面:首先交互拾取3个特征点A、B、C。B为上中切牙近中接触点,A、C为相对对称点，为了测量的方便和降低测量误差，可以灵活地选取。这里选取最后一颗磨牙的远中面。D点为A、C两点的中点，B*点为B点在咬合面上的映射点，中线平面由B、D、B*三点确定。
根据医学定义在牙齿上拾取合适的相对对称特征点P、Q，将P、Q映射到中线平面得到P′、Q′。分析比较P-P′和Q-Q′的大小关系，进而分析牙弓的对称性。这种简单的分析对计划牙齿的移动和矫治器的选择十分有用。对称性测量分析如图9所示。
2 结果与讨论
口腔正畸系统中，牙颌模型的测量分析是口腔正畸临床诊断、治疗设计的一个重要手段，测量的效率和精度就显得尤为重要。
测量牙冠的宽度时，将拾取的特征点A、B映射到咬合面上，由特征点自动生成2个参考平面，测量2个面之间的距离,消除因选取的2个特征点A、B的连线与咬合平面的夹角α过大引起的倾斜测量误差，测量的结果如图6，宽度为7.70 mm。
基于咬合面的牙冠尖点、中窝点自动搜索算法，搜索半径R的确定。R过小时，有可能要搜索的尖点不在搜索的范围内，出现“漏选”特征点;R过大时，随着搜索区域的扩大，相应地付出了计算代价，而且可能出现“乱选”的现象，即自动搜索的尖点明显不符合要求。通过多副模型的试验，最终选定R=1.10 mm。
偏移值N的确定，当N>0时，咬合平面沿正法向平移得到平移咬合面;当N<0时，沿负法向平移。本研究选定N=0.8，确保牙面数据都在平移咬合面同侧，可有效地防止因为牙面数据在咬合平面(N=0)两侧而误选尖点、中央窝点。牙弓宽度、长度测量见图7、8。
牙齿是不规则的曲面，而且每副牙颌模型的差异性很大，如牙齿的缺失、牙列拥挤。这给中线平面的建立带来了很大的难度。本研究利用相对对称法建立中线平面，A、C两点为相对正常颌应该对称的两点，可以灵活地选取，这给测量带来了灵活性，可以根据经验、观察来选取合适的特征点。见图9。
当Δ=PP′-QQ′≤1时，认为牙弓近似对称;当Δ=PP′-QQ′>1时，认为牙弓不对称。图中Δ1 =图9 牙弓对称性测量结果
Fig 9 The measurement results of dental arch symmetry
21.76-21.29=0.47<1,Δ2=16.79-15.98=0.81<1，所以认为牙弓是近似对称的。
本研究将逆向工程(RE)、计算机图形学(CG)和计算几何技术引入口腔医学领域，提出了在数字牙颌模型上直接测量参数的方法。该测量方法不仅可用于正畸系统，而且可作为统计学研究牙颌模型的测量工具。该算法基于咬合面的牙冠尖点、中窝点自动搜索算法与模型正畸学特征紧密结合，自动搜索牙尖点、中央窝点，提高了模型分析的效率和测量的精度，为个性化牙模测量提供了新的思路，为研制国产口腔修复CAD系统提供了第一手的资料。
